Problème inverse

Les déplacements ${\bf d}$ observés à la surface peuvent être décrits comme une fonction $F$ d'une source quelconque de paramètres ${\bf m}$ :

\begin{equation} {\bf d} = F\left(\textbf{m}\right)+\varepsilon = {\bf d_m}+\varepsilon \end{equation}

(84)

où $\varepsilon$ correspond aux résidus entre le modèle et les données, et peut être interprété comme les erreurs d'observation. ${\bf d_m}$ correspond aux déplacements modélisés et la fonction "$F$ décrit comment les variations de volume des sources unitaires provoquent des déformations de la surface du sol.

La tomographie doit permettre de retrouver les déplacements ${\bf d}$ à partir d'une version discrétisée du sous-sol en $m$ sources unitaires, la position des sources unitaires est donc fixée. Pour chaque source unitaire, seule sa variation de volume $\Delta V$ est inconnue. Le vecteur $[\Delta V_1,\cdots,\Delta V_m]$, regroupant les variations de volume de toutes les sources, constituera donc les paramètres ${\bf m}$ de la fonction $F$.

On cherche donc les paramètres <$\bf {m}$ tels que les déplacements modélisés soient les plus proches possibles des déplacements observés, ce qui revient à minimiser la fonction coût suivante :

\begin{equation} \Phi^2_a=\left\|W\left(F\left(\textbf{m}\right)-\textbf{d}\right)\right\|^2 \end{equation}

(85)

où $W$ est la matrice de pondération issue de la décomposition de Cholesky de l'inverse de la matrice de covariance des données, définie telle que $W^TW={\bf C_d}^{-1}$. Cette formulation est équivalente à celle proposée à l'équation

page

, mais elle a l'avantage de ne pas nécessiter de stocker la matrice de covariance ${\bf C_d}$ en mémoire vive.

kunos 2014-07-01