Principes

Supposons que nous cherchons les paramètres de $k$ sources différentes permettant de reproduire les déplacements. La source $j$ est décrite par $mj$ paramètres : ${\bf m_j} = [m_1^j,\cdots,m^j_{mj-1}]$ sont les paramètres géométriques et $\psi_j$ la norme du vecteur contrainte appliqué à la source. Supposons maintenant que nous disposons d'un modèle de calcul de la déformation tel que les déplacements provoqués par toutes les sources prises conjointement soient équivalents à la somme des déplacements $\textbf{d}^j_{\textbf{m}}$ provoqués par chacune des sources prises indépendamment :

\begin{eqnarray} & \textbf{d}_{\textbf{m}} = & \text{F}(m_1^1,\cdots,m_{mj-1}^{1},\psi_1,\cdots,m_1^k,\cdots,m_{mk-1}^{k},\psi_k) \nonumber \\ \Leftrightarrow & \textbf{d}_{\textbf{m}} = & \sum\limits_{j=1}^{k}\text{F}({\bf m_j},\psi_j) = \sum\limits_{j=1}^{k}\textbf{d}^j_{\textbf{m}} \end{eqnarray}

(77)

De même que précédemment, les déplacements modélisés dus à la source $j$ peuvent être écrits comme le produit entre les déplacements provoqués par la source pour un vecteur contrainte unitaire $\textbf{d}^j_{\overset{1}{\textbf{m}}}$) et la variation de volume de la source $\psi_j$ :

\begin{equation} \textbf{d}^j_{\textbf{m}} =\text{F}({\bf m_j},\psi_j)= \psi_j \text{F}({\bf m_j},1) = \psi_j\textbf{d}^j_{\overset{1}{\textbf{m}}} \end{equation}

(78)

où $\textbf{d}^j_{\overset{1}{\textbf{m}}}$ correspond aux déplacements provoqués par la source $j$ pour lesquels la norme du vecteur contrainte $\psi_j$ est fixée à 1.

Comme nous avons supposé que le modèle de déformation permet de sommer les déplacements dus à chaque source, il suffit de résoudre un système linéaire d'équations pour rechercher la norme du vecteur contrainte appliqué à chaque source permettant de reproduire au mieux les déplacements. Soient ${\bf\Psi}$ un vecteur contenant ces normes optimales, et ${\bf D}$ une matrice contenant les déplacements provoqués par chaque source pour une norme du vecteur contrainte unitaire. ${\bf\Psi}$ et ${\bf D}$ sont définis tels que :

\begin{equation} {\bf\Psi} = \left( {\begin{array}{*{20}c} {\psi_1 } \\ \vdots \\ {\psi_k } \\ \end{array}} \right)\text{~~~et~~~}{\bf D} = \left( {\begin{array}{*{20}c} {\textbf{d}^1_{\overset{1}{\textbf{m}}}} & {\cdots} & {\textbf{d}^k_{\overset{1}{\textbf{m}}}} \\ \end{array}} \right) \end{equation}

(79)

Nous cherchons donc ${\bf\Psi}$ tel que la fonction misfit suivante soit minimisée :

\begin{equation} \Phi^2 = \left( {\bf D}{\bf\Psi}-{\bf d} \right)^T {\bf C_d}^{-1} \left( {\bf D}{\bf\Psi}-{\bf d} \right) \end{equation}

(80)

${\bf\Psi}$ est résolu par calcul matriciel selon :

(81)

Les déplacements modélisés permettant d'ajuster aux mieux les déplacements observés sont alors obtenus selon :

\begin{equation} {\bf d_{m}}={\bf D}{\bf\Psi} \end{equation}

(82)

et la fonction coût pour le calcul peut alors s'écrire :

\begin{equation} \chi^2=\left( {\bf d_{m}}-{\bf d} \right)^T {\bf C_d}^{-1} \left( {\bf d_{m}}-{\bf d} \right) \end{equation}

(83)

Cette procédure permet donc de n'inverser que les paramètres géométriques et d'économiser un paramètre par source. En revanche, elle nécessite de calculer autant de modèles de déplacements que de sources.

kunos 2014-07-01