Comparaison des différents calculs de misfit

Ces différentes formulations de la fonction coût ont été testées sur les modèles synthétiques de sphère présentés au chapitre 3. La contrainte appliquée à la sphère correspond à une variation de pression. La pression de la sphère diminue avec le temps de manière exponentielle et le jeu de données 1 (Fig. 3.7 page

) contient 4 interférogrammes couvrant différentes périodes. La géométrie de la source et sa variation de pression ont été inversées soit en prenant en compte la pression de la source comme paramètre dans l'inversion, soit en considérant une variation de pression unique de la source, soit en considérant une variation de pression différente par jeu de données.

La figure 5.4 montre les PPD1D pour chacune des fonctions misfit utilisées. Quelle que soit la méthode, la position du centre de la source ($x_c$, $y_c$ et $z_c$) est bien retrouvée. Les méthodes par inversion de la variation de pression ou par recalcul d'une variation de pression unique donnent des résultats similaires, mais dans les deux cas, le rayon initial n'est pas compris dans les intervalles de confiance. La méthode recalculant une variation de pression pour chaque interférogramme a des intervalles de confiance plus grands que les deux autres méthodes, mais l'intervalle de confiance contient la valeur réelle du rayon de la source.

Table 5.1: Résultats d'inversions de la géométrie de la source pour différentes fonctions misfit. Les valeurs indiquées correspondent au meilleur modèle trouvé, les valeurs en exposant et en indice donnent les intervalles de confiance. La valeur de la pression indiquée correspond soit à la valeur inversée (inversion pression), soit aux valeurs de pression recalculées ($\Delta P$ unique $\Delta P$ multiple). DE indique le pourcentage de données expliquées.

Paramètre	Modèle initial	Inversion pression	$\Delta P$ unique	$\Delta P$ multiple
xc - 366000	566	$569^{+64}_{-30}$	$ 568^{+31}_{-26} $	$ 563^{+50}_{-28} $
yc - 7650000	265	$ 267^{+35}_{-63}$	$ 260^{+28}_{-24} $	$ 262^{+43}_{-19} $
zc	1849	$1848^{+94}_{-11}$	$ 1870^{+26}_{-34} $	$ 1850^{+65}_{-19} $
rayon	500	$351^{+12}_{-88}$	$ 399^{+100}_{-30} $	$ 452^{+112}_{-220} $
Pression A2	$-10.99$	$ -24.02^{+2.43}_{-15.82} $	$ -14.89\pm 0.20 $	$-10.5\pm 0.18$
Pression D3	$ -3.13$			$ -2.79\pm0.22 $
Pression D7	$-5.58$			$ -5.02\pm0.21 $
Pression A7	$-12.66$			$ -12\pm0.25 $
DE(%)	-	86.9	85.5	98.9
Itération de convergence	-	48	23	23

**Figure 5.4:** PPD1D en fonction du type de la fonction coût et vitesse de convergence.
-a- PPD1D en fonction du type de la fonction coût. Pour les paramètres $x_c$ et $y_c$, les valeurs sont données par rapport à une position de référence ($x_0 = 357000$ et $y_0 = 7640000$). -b- Vitesse de convergence. Le misfit moyen de l'itération est calculé à chaque itération, les barres d'erreur indiquent l'écart-type du misfit moyen. Courbe rouge : la variation de pression est inversée. Courbe bleue : la variation de pression n'est pas inversée, et on cherche une pression unique par recalcul pour l'ensemble des interférogrammes. Courbe verte : la variation de pression n'est pas inversée et on recalcule une pression pour chaque interférogramme. L'inversion utilisant une fonction coût par recalcul de la variation de pression pour chaque interférogramme permet de converger plus vite vers une solution, et d'obtenir un misfit plus faible que les autres méthodes.

La figure 5.4-b et le tableau 5.1 montrent que la convergence est deux fois plus rapide si l'on n'inverse pas la variation de pression. Enfin, le tableau 5.1 montre que la méthode recalculant la variation de pression pour chaque jeu de données permet de retrouver de manière satisfaisante les variations de pression réelles de la source pour chaque interférogramme.

kunos 2014-07-01