Étape 2 : analyse statistique

La seconde étape de l'inversion a pour objectif d'estimer la fonction de densité a postériori (PPD ou encore $P\left({\bf m}\right)$), puis d'en déduire les incertitudes sur les paramètres ${\bf m}$ du modèle.

Dans le cadre de l'inférence bayésienne, l'équation 64 nous permet de relier la PPD au misfit $\chi^2$ à condition que la distribution de $\chi^2$ soit normale. Cependant, la procédure de recherche détaillée précédemment nous donne accès à une version discrétisée de $\chi^2\left({\bf m}\right)$, et ne garantie nullement la répartition normale du misfit $\chi^2$ puisque l'espace des paramètres a été d'autant plus sous échantillonné que la procédure convergeait vers un bon modèle.

Plutôt que de chercher à résoudre $P\left({\bf m}\right)$, [Sambridge(1999)] propose de l'approximer en se basant sur deux propriétés :

Dans le cadre de l'inférence bayésienne, on montre que si un échantillon de $\chi^2$ a une distribution normale, alors la densité de la distribution de $\chi^2$ tend de manière asymptotique vers $P\left({\bf m}\right)$ [Tarantola (2005)]. Dans ce cas, un moyen simple de connaître $P\left({\bf m}\right)$ est donc d'estimer la distribution $h\left({\bf m}\right)$ de $\chi^2$. Nous avons donc :

\begin{equation} P\left({\bf m}\right)\approx h\left({\bf m}\right) \end{equation} (65)
La PPD dans une cellule ($P_{NA}\left({\bf m}\right)$) est approximable par la PPD du point ${\bf p}_i$ de la cellule ($P\left({\bf p}_i\right)$) et est donc considérée comme uniforme dans la cellule entière. En d'autres termes, au voisinage d'un point, on peut écrire :

\begin{equation} P_{NA}\left({\bf m}\right) = P\left({\bf p}_i\right) \end{equation} (66)

L'estimation de $P\left({\bf m}\right)$ peut alors être résumé à un problème d'interpolation de la fonction$\chi^2\left({\bf m}\right)$ dans l'espace des paramètres, de sorte que la nouvelle distribution du $\chi^2$ des modèles soit normale. Les valeurs du $\chi^2$ des modèles interpolés seront définies en se basant sur l'uniformité du $\chi^2$ dans une cellule. [Sambridge(1999b)] propose une procédure de re-échantillonnage de la population obtenue lors de l'étape de recherche, en utilisant une procédure de Monte-Carlo de type Marche Aléatoire (Gibbs sampler) qui permet d'assurer une distribution uniforme du $\chi^2$

À partir de ce re-échantillonnage de la fonction $\chi^2\left({\bf m}\right)$, nous avons accès à la PPD, qui peut elle même nous renseigner sur densités de probabilité marginale, les PPD-1D et les PPD-2D. Ces densités de probabilité marginales peuvent être comprises comme la projection de la PPD selon une seule dimension (PPD-1D) ou deux dimensions (PPD-2D).

Les PPD-1D permettent une représentation de la distribution des modèles pour un paramètre donné, ainsi que les intervalles de confiance à 95%. La représentation des PPDs 2D renseigne quant à elle sur les éventuels compromis entre les différents paramètres qui se manifesteraient par une forme allongée des iso-contours. Elle indique aussi si les intervalles de recherche sont suffisamment larges. Si ce n'est pas le cas, les formes des iso-contours sont quadrangulaires et suivent les bornes des intervalles. La figure 5.3 montre les PPD-1D et 2D dans l'exemple de l'inversion réalisée pour trouver le minimum de la fonction banane.

Enfin, à partir de la PPD, il est aussi possible de calculer le modèle moyen. Si après re-échantillonnage, les distributions des paramètres sont aussi gaussiennes, alors le modèle moyen sera proche du meilleur modèle trouvé lors de la procédure de recherche. Dans le cas contraire, le modèle moyen pourra être relativement éloigné du meilleur modèle.

kunos 2014-07-01