Données InSAR au Piton de la Fournaise

La matrice de covariance ${\bf {C_d}}$ doit refléter l'incertitude associée aux données. Cette incertitude est essentiellement due aux effets atmosphériques qui modulent le signal de déformation. Nous avons vu comment corriger les données de la composante atmosphérique dont les paramètres varient de manière linéaire avec l'altitude (Partie 2.2 et [Beauducel et al.(2000)]). Les variations de courte longueur d'onde de l'atmosphère ne sont pas modélisables ni corrigeables et constituent une partie du bruit dans les données. La matrice ${\bf {C_d}}$ permet de prendre en compte ce bruit dans les inversions.

Sur un interférogramme donné, seules les zones ne subissant pas de déformation et ne contenant pas de résidus topographiques sont sélectionnées. Les pixels sont ensuite analysés deux à deux : pour chaque couple de pixels, on détermine la différence de leur valeur et la distance les séparant. Il est alors possible de connaître la relation entre la différence des valeurs en fonction de la distance séparant les pixels. La courbe résultante est appelée fonction d'autocorrelation. Cette mesure permet de connaître la distance de corrélation $a$ entre deux pixels à partir de laquelle on peut considérer que les valeurs du bruit de ces deux pixels sont indépendantes [Fukushima et al.(2005), Tarantola (1987)]. [Fukushima et al.(2005) et Tinard(2007)] ont montré qu'une fonction exponentielle permet d'ajuster convenablement la fonction d'autocorrélation pour les données InSAR acquises au Piton de la Fournaise.

La matrice ${\bf {C_d}}$ est construite de sorte que :

\begin{equation} {\bf {C_d}}_{i,j}=\sigma_i\sigma_je^{-\frac{r_{i,j}}{a}} \end{equation}

(60)

où $\sigma_i$ et $\sigma_j$ correspondent aux écarts-types des ième et jème données du vecteur d des observations, et $r_{i,j}$ est la distance séparant ces deux pixels.

Si l'on ne dispose pas de la variance de chaque pixel mais seulement de la variance moyenne de l'interférogramme $\overline{\sigma^2_d}$, la matrice ${\bf {C_d}}$ est alors construite selon :

\begin{equation} {\bf {C_d}}_{i,j}=\overline{\sigma^2_d}e^{-\frac{r_{i,j}}{a}} \end{equation}

(61)

La matrice de covariance est donc telle que ses termes diagonaux sont égaux à $\overline{\sigma^2_d}$ et ses termes non diagonaux dépendront de la distance de corrélation $a$ entre les données échantillonnées. Dans le cas des données GPS, la variance utilisée est l'erreur RMS (root mean square) sur chaque composante et la distance de corrélation sera supposée nulle.

kunos 2014-07-01