Interpolation par Spline Cubique d'Hermite

L'interpolation par spline cubique présentée ci-dessus contient parfois des ondulations de forte amplitude (Fig. 3.6), ce qui la rend peu fiable fritsch1980. L'interpolation par Spline Cubique d'Hermite (Piecewise Cubic Hermite Interpolating Polynomial ou PCHIP), très similaire à l'interpolation par spline cubique, a été développée afin de palier à cet inconvénient [Fritsch (1980), Catmull et Rom (1974)]. Aucune condition n'est imposée sur la continuité des dérivées secondes au niveau des points, seule est imposée la continuité des dérivées premières. Ce type d'interpolation est construit sur la combinaison linéaire de 4 polynômes unitaires de degré 3 $h_{00}(\tau)$, $h_{10}(\tau)$, $h_{01}(\tau)$ et $h_{11}(\tau)$, tels que :

\begin{equation} \begin{array}{*{20}c} h_{00} (\tau) &=& 2\tau^3 - 3\tau^2 + 1 & ~ & h_{01} (\tau) = - 2\tau^3 + 3\tau^2 & ~ & \tau \in \left[ {0,1} \right] \\ h_{10} (\tau) &=& \tau^3 - 2\tau^2 + \tau & ~ & h_{11} (\tau) = \tau^3 + \tau^2 & ~ & \\ \end{array} \end{equation}

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La figure 3.5 montre la forme des 4 polynômes unitaires ainsi qu'un exemple d'interpolation.

**Figure 3.5:** Principes de l'interpolation par PCHIP. -a- Les 4 polynômes unitaires de l'interpolation. -b- Exemple d'interpolation. Les dérivées des extrema locaux sont fixées à 0 (en rouge). La courbe du spline cubique est donnée à titre de comparaison.

Pour dériver les équations correspondant au Spline d'Hermite, on écrit cette fois les conditions de continuité du polynôme $s_k$ et de ses dérivées $s'_k$ en fonction des valeurs du polynôme $d_k$, $d_{k+1}$, et de ses dérivées $m_k$, $m_{k+1}$ aux temps d'acquisition successifs $t_k$ et $t_{k+1}$

\begin{eqnarray} s_k(t_{k}) & = d_{k} ~~~~~~~~~ s_k(t_{k+1}) & = d_{k+1}\nonumber \\ s_k'(t_{k}) & = m_{k} ~~~~~~~~~ s_k'(t_{k+1}) & = m_{k+1} \end{eqnarray}

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On peut montrer que le polynôme suivant vérifie ces conditions :

\begin{equation} \begin{array}{*{20}c} s_k(t) = h_{00}(\tau)d_k + h_{10}(\tau)(t_{k+1}-{t_k})m_k+h_{01}(\tau)d_{k+1}+h_{11}(\tau)(t_{k+1}-{t_k})m_{k+1}\\ \text{avec : }\tau = \frac{{\begin{array}{*{20}c} t-t_{k} \\ \end{array}}}{{\begin{array}{*{20}c} t_{k+1} - t_{k} \\ \end{array}}} \in \left[ {0,1} \right] \text{ et } t \in \left[t_{k},t_{k+1}\right] \end{array} \end{equation}

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Il est possible d'estimer $m_k$ à l'aide du spline Catmull-Rom [Catmull et Rom (1974)] :

\begin{equation} m_k = \left( 1-c \right)\frac{{\begin{array}{*{20}c} d_{k+1}-d_{k-1} \\ \end{array}}}{{\begin{array}{*{20}c} 2 \left( t_{k+1} - t_{k-1}\right) \\ \end{array}}}~~c \in \left[0,1\right] \end{equation}

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où $c$ est compris entre 0 et 1 et est généralement choisi égal à 0.5. Ce coefficient permet de contrôler la tension de l'interpolateur catmull1974 : plus $c$ est proche de 0, plus l'interpolation se rapproche d'une interpolation linéaire par parties alors que plus $c$ est proche de 1, plus l'interpolation se rapproche d'une interpolation par spline cubique (Fig. 3.6). Si les déplacements à la date $t_k$ correspondent à un extremum local, alors $m_k$ sera fixée à 0, ce qui aura comme effet de limiter fortement les ondulations de la courbe interpolée même si $c$ n'est pas fixé à 0 (Fig. 3.6). Les interpolations par méthode PCHIP utilisées dans cette étude seront faites en fixant les dérivées des extrema à 0 et $c$ à 0.5.

**Figure 3.6:** Influence du paramètre $c$ et du contrôle des dérivées au niveau des extrema locaux. L'interpolation obtenue par spline cubique est montrée en référence. Les déplacements de la série temporelle sont indiqués par les points noirs. Le paramètre $c$ permet de contrôler la tension de l'interpolateur si $c=1$ l'interpolation par PCHIP se comporte de manière similaire à l'interpolation par spline cubique et présente les mêmes ondulations. Les ondulations sont plus faibles si l'on fixe $c$ à 0 et que l'on impose une valeur de 0 aux dérivées des points correspondant à des extrema locaux.

En utilisant la formulation de la dérivée $m_k$ dans l'équation 3.14, puis en factorisant par les $d_k$, $\hat d_s$ peut être exprimé sous la forme d'une combinaison linéaire des $d_k$ (voir annexe A.1.2 pour le détail du calcul) :

\begin{equation} \hat d_s = {\bf a}_s {\bf d} \text{~~~avec~} {\bf a}_s = f(t_s,t_{k-1},\cdots,t_{k+2})\text{~~~si~} t_s \in \left[t_k,t_{k+1}\right] \end{equation}

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L'expression de ${\bf a}_s$ ne dépend que des $t_{k-1}$, $t_{k}$, $t_{k+1}$ et $t_{k+2}$ . Ainsi, chaque point n'aura qu'une influence locale sur la forme de la courbe, ce qui fait de l'interpolation par Spline Cubique d'Hermite une méthode provoquant moins d'ondulations que le spline cubique [Fritsch (1980)] (Fig. 3.6).

De même que pour les interpolations linéaire par parties et par spline cubique, la différence des déplacements $\hat{d}_{me}$ interpolés entre les deux dates $t_m$ et $t_e$ peut alors s'exprimer sous la forme d'une combinaison linéaire des déplacements ${\bf {d}}$ de la série temporelle :

\begin{equation} \hat{d}_{me} = \hat{d}_{e}-\hat{d}_{m} = (\textbf{a}_e- \textbf{a}_m){\bf {d}} = \textbf{a}_{me}{\bf {d}} \end{equation}

kunos 2014-07-01