\begin{equation} \begin{array}{*{20}c} h_{00} (\tau) &=& 2\tau^3 - 3\tau^2 + 1 & ~ & h_{01} (\tau) = - 2\tau^3 + 3\tau^2 & ~ & \tau \in \left[ {0,1} \right] \\ h_{10} (\tau) &=& \tau^3 - 2\tau^2 + \tau & ~ & h_{11} (\tau) = \tau^3 + \tau^2 & ~ & \\ \end{array} \end{equation} | (30) |
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Pour dériver les équations correspondant au Spline d'Hermite, on écrit cette fois les conditions de continuité du polynôme $s_k$ et de ses dérivées $s'_k$ en fonction des valeurs du polynôme $d_k$, $d_{k+1}$, et de ses dérivées $m_k$, $m_{k+1}$ aux temps d'acquisition successifs $t_k$ et $t_{k+1}$
\begin{eqnarray} s_k(t_{k}) & = d_{k} ~~~~~~~~~ s_k(t_{k+1}) & = d_{k+1}\nonumber \\ s_k'(t_{k}) & = m_{k} ~~~~~~~~~ s_k'(t_{k+1}) & = m_{k+1} \end{eqnarray} | (31) |
On peut montrer que le polynôme suivant vérifie ces conditions :
Il est possible d'estimer $m_k$ à l'aide du spline Catmull-Rom [Catmull et Rom (1974)] :
\begin{equation} m_k = \left( 1-c \right)\frac{{\begin{array}{*{20}c} d_{k+1}-d_{k-1} \\ \end{array}}}{{\begin{array}{*{20}c} 2 \left( t_{k+1} - t_{k-1}\right) \\ \end{array}}}~~c \in \left[0,1\right] \end{equation} | (33) |
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En utilisant la formulation de la dérivée $m_k$ dans l'équation 3.14, puis en factorisant par les $d_k$, $\hat d_s$ peut être exprimé sous la forme d'une combinaison linéaire des $d_k$ (voir annexe A.1.2 pour le détail du calcul) :
\begin{equation} \hat d_s = {\bf a}_s {\bf d} \text{~~~avec~} {\bf a}_s = f(t_s,t_{k-1},\cdots,t_{k+2})\text{~~~si~} t_s \in \left[t_k,t_{k+1}\right] \end{equation} | (34) |
L'expression de ${\bf a}_s$ ne dépend que des $t_{k-1}$, $t_{k}$, $t_{k+1}$ et $t_{k+2}$ . Ainsi, chaque point n'aura qu'une influence locale sur la forme de la courbe, ce qui fait de l'interpolation par Spline Cubique d'Hermite une méthode provoquant moins d'ondulations que le spline cubique [Fritsch (1980)] (Fig. 3.6).
De même que pour les interpolations linéaire par parties et par spline cubique, la différence des déplacements $\hat{d}_{me}$ interpolés entre les deux dates $t_m$ et $t_e$ peut alors s'exprimer sous la forme d'une combinaison linéaire des déplacements ${\bf {d}}$ de la série temporelle :
\begin{equation} \hat{d}_{me} = \hat{d}_{e}-\hat{d}_{m} = (\textbf{a}_e- \textbf{a}_m){\bf {d}} = \textbf{a}_{me}{\bf {d}} \end{equation} |
kunos 2014-07-01