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Interpolation par Spline Cubique

L'interpolation par spline cubique consiste à modéliser les déplacements entre deux dates successives de la série temporelle par une équation cubique, donnés par :

\begin{equation} s_k(t) = s_{k,0} + s_{k,1}\left({t-t_k}\right) + s_{k,2}\left({t-t_k}\right)^2 + s_{k,3}\left({t-t_k}\right)^3~~~t\in \left[t_k,t_{k+1}\right] \end{equation} (27)

où $s_{k,i}$ correspond au coefficient du polynôme pour le degré $i$.

Figure 3.4: Principes de l'interpolation par spline cubique. Entre deux dates successives de la série temporelle (points noirs), les déplacements évoluent selon une équation cubique, telle que les dérivées et les dérivées secondes soient continues au niveau des points de la série temporelle.

L'équation d'interpolation est de plus soumise à des contraintes de continuité de la fonction $s_k$, ainsi qu'a des contraintes de continuité de ses dérivées premières et secondes. Ces contraintes s'écrivent :

\begin{eqnarray} \begin{array}{l} \left. {\begin{array}{*{20}c} {s_k(t_k) = d_k } \\ {s_k \left( {t_{k + 1} } \right) = s_{k + 1} \left( {t_{k + 1} } \right)} \\ \end{array}} \right\}{\text{ La courbe passe par tous les points (continuité)}} \\ \left. {\begin{array}{*{20}c} {s_k^{'} \left( {t_{k + 1} } \right) = s_{k + 1}^{'} \left( {t_{k + 1} } \right)} \\ {s_k^{''} \left( {t_{k + 1} } \right) = s_{k + 1}^{''} \left( {t_{k + 1} } \right)} \\ \end{array}} \right\}{\text{ Les dérivées premières et secondes sont continues (lissage)}} \\ \end{array} \end{eqnarray} (28)

La détermination de l'expression du vecteur de pondération $\textbf{a}_{me}$ fait appel à différentes étapes de la construction du spline cubique proposée par [de Boor(1978)]. Elle est détaillée à l'annexe A.1.1 page [*] et montre qu'il est possible d'exprimer la valeur des déplacements interpolés $\hat d_s$ à la date $t_s$ sous la forme :

\begin{equation} \hat d_s = s_k\left( t_s \right) = \textbf{a}_s{\bf {d}} \text{~~~avec~~~} \textbf{a}_s = f(t,t_1,\cdots,t_n)\text{~~~et~~~} t_s\in[t_k,t_{k+1}] \end{equation} (29)

Les coefficients $\textbf{a}_s$ dépendent de l'ensemble des $t_k$, ce qui implique que la présence d'un seul point aberrant ou fortement bruité aura une influence sur l'interpolateur dans son ensemble. Par conséquent, l'interpolation par spline cubique peut-être amenée à onduler fortement d'un segment à l'autre (l'explication des ondulations est donnée à la figure 3.6 page [*]).

De même que pour l'interpolation linéaire par parties, la différence des déplacements $\hat{d}_{me}$ interpolés entre les deux dates $t_m$ et$t_e$ peut alors s'exprimer sous la forme d'une combinaison linéaire des déplacements ${\bf {d}}$ de la série temporelle :

\begin{equation} \hat{d}_{me} = \hat{d}_{e}-\hat{d}_{m} = (\textbf{a}_e- \textbf{a}_m){\bf {d}} = \textbf{a}_{me}{\bf {d}} \end{equation}  


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kunos 2014-07-01