Interpolation par Spline Cubique

L'interpolation par spline cubique consiste à modéliser les déplacements entre deux dates successives de la série temporelle par une équation cubique, donnés par :

\begin{equation} s_k(t) = s_{k,0} + s_{k,1}\left({t-t_k}\right) + s_{k,2}\left({t-t_k}\right)^2 + s_{k,3}\left({t-t_k}\right)^3~~~t\in \left[t_k,t_{k+1}\right] \end{equation}

(27)

où $s_{k,i}$ correspond au coefficient du polynôme pour le degré $i$.

L'équation d'interpolation est de plus soumise à des contraintes de continuité de la fonction $s_k$, ainsi qu'a des contraintes de continuité de ses dérivées premières et secondes. Ces contraintes s'écrivent :

\begin{eqnarray} \begin{array}{l} \left. {\begin{array}{*{20}c} {s_k(t_k) = d_k } \\ {s_k \left( {t_{k + 1} } \right) = s_{k + 1} \left( {t_{k + 1} } \right)} \\ \end{array}} \right\}{\text{ La courbe passe par tous les points (continuité)}} \\ \left. {\begin{array}{*{20}c} {s_k^{'} \left( {t_{k + 1} } \right) = s_{k + 1}^{'} \left( {t_{k + 1} } \right)} \\ {s_k^{''} \left( {t_{k + 1} } \right) = s_{k + 1}^{''} \left( {t_{k + 1} } \right)} \\ \end{array}} \right\}{\text{ Les dérivées premières et secondes sont continues (lissage)}} \\ \end{array} \end{eqnarray}

(28)

La détermination de l'expression du vecteur de pondération $\textbf{a}_{me}$ fait appel à différentes étapes de la construction du spline cubique proposée par [de Boor(1978)]. Elle est détaillée à l'annexe A.1.1 page et montre qu'il est possible d'exprimer la valeur des déplacements interpolés $\hat d_s$ à la date $t_s$ sous la forme :

\begin{equation} \hat d_s = s_k\left( t_s \right) = \textbf{a}_s{\bf {d}} \text{~~~avec~~~} \textbf{a}_s = f(t,t_1,\cdots,t_n)\text{~~~et~~~} t_s\in[t_k,t_{k+1}] \end{equation}

(29)

Les coefficients $\textbf{a}_s$ dépendent de l'ensemble des $t_k$, ce qui implique que la présence d'un seul point aberrant ou fortement bruité aura une influence sur l'interpolateur dans son ensemble. Par conséquent, l'interpolation par spline cubique peut-être amenée à onduler fortement d'un segment à l'autre (l'explication des ondulations est donnée à la figure 3.6 page ).

De même que pour l'interpolation linéaire par parties, la différence des déplacements $\hat{d}_{me}$ interpolés entre les deux dates $t_m$ et$t_e$ peut alors s'exprimer sous la forme d'une combinaison linéaire des déplacements ${\bf {d}}$ de la série temporelle :

\begin{equation} \hat{d}_{me} = \hat{d}_{e}-\hat{d}_{m} = (\textbf{a}_e- \textbf{a}_m){\bf {d}} = \textbf{a}_{me}{\bf {d}} \end{equation}

kunos 2014-07-01