Interpolation linéaire par parties

Pour chaque pixel, on considère que le taux de déplacement est constant entre deux scènes successives. L'interpolateur consiste en une succession de segments de droites (Fig. 3.3).

Soit $s_k(t)$ l'interpolateur pour $t$ dans l'intervalle $[t_k, ...,t_{k+1}]$. $s_k(t)$ peut être exprimé selon :

\begin{equation} s_k(t) = \alpha_k t_s+ \beta_k \text{~~~avec~~~} \alpha_k = \frac{d_{k+1}-d_k}{t_{k+1}-t_k}\text{~~~et~~~} \beta_k = d_{k} - \frac{d_{k+1}-d_k}{t_{k+1}-t_k}t_k \end{equation}

(25)

En remplaçant $\alpha_k$ et $\beta_k$ par leur valeur, puis en factorisant par $d_{k}$ et $d_{k+1}$, $s_k$ peut s'exprimer selon :

\begin{equation} s_k(t) = \frac{t_{k+1} - t_s}{t_{k+1} - t_{k}} d_k + \frac{t_s - t_{k}}{t_{k+1} - t_{k}} d_{k+1} \text{~~~avec~~~} t \in \left[t_k,t_{k+1}\right] \end{equation}

(26)

Le vecteur $\textbf{a}_s$ de pondération pour le temps $t_s$ $\in [t_k, ...,t_{k+1}]$ s'écrit donc :

\begin{equation} \textbf{a}_s = \left( {\begin{array}{*{20}c} {0, \cdots, 0}, & {\frac{{t_{k + 1} - t_s }}{{t_{k + 1} - t_s }}} , & {\frac{{t_s - t_k }}{{t_{k + 1} - t_k }}} ,& {0, \cdots, 0}\\ \end{array}} \right) \end{equation}

Ainsi, la différence des déplacements $\hat{d}_{me}$ interpolés entre les deux dates $t_m$ et $t_e$ peut alors s'exprimer sous la forme d'une combinaison linéaire des déplacements ${\bf {d}}$ de la série temporelle :

\begin{equation} \hat{d}_{me} = \hat{d}_{e}-\hat{d}_{m} = (\textbf{a}_e-\textbf{a}_m){\bf {d}} = \textbf{a}_{me} {\bf {d}} \end{equation}

kunos 2014-07-01