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Soient ${\bf {d_{\text{los}}}} = [d_1,\cdots,d_n]^T$ les valeurs de déplacements pour un pixel donné selon $n$ lignes de visée différentes, et $V$, la matrice des variances, définie telle que $V_{i,i}=\sigma_i$ où $\sigma_i$ est la variance des déplacements dans la géométrie $i$ pour le pixel. Comme les interférogrammes dans différentes lignes de visée sont indépendants entre eux, les covariances entre interférogrammes sont nulles. Soit $L$ une matrice de dimension $n\times3$ définie telle chaque ligne de "$L$ contienne le vecteur directeur d'une ligne de visée particulière dans le repère géographique (est-ouest, nord-sud, haut-bas) : $L_i = [E_i,N_i,U_i]$. Les composantes des déplacements dans le repère géographique ${\bf {d_{\text{3D}}}}=[d_{EO},d_{NS},d_{UD}]^T$ sont celles qui permettent de minimiser la fonction misfit :
\begin{equation} \chi^2 = \left({\bf {d_{\text{3D}}}}-L{\bf {d_{\text{los}}}}\right)^TV^{-1}\left({\bf {d_{\text{3D}}}}-L{\bf {d_{\text{los}}}}\right) \end{equation} | (13) |
\begin{equation} {\bf {d_{\text{3D}}}} = (L^TV^{-1}L)^{-1}L^TV^{-1}{\bf {d_{\text{los}}}} \end{equation} | (14) |
Comme dans le cas du calcul de série temporelle, il est possible d'utiliser à la place de la matrice $V$ une matrice $\overline{V}$ contenant les variances moyennes des interférogrammes. La variance moyenne des déplacements dans les trois composantes est donnée par la diagonale de $\overline{\Sigma_{3D}}$, définie par :
kunos 2014-07-01