Principes mathématiques

Les interférogrammes donnent accès aux déplacements du sol dans la direction du satellite. Interpréter ces images nécessite donc de connaître la ligne de visée dans laquelle les scènes ont été acquises. Si l'on dispose de plusieurs interférogrammes couvrant la même déformation, mais selon des lignes de visées différentes, il est possible de retrouver les composantes 3D (est-ouest, nord-sud et vertical) des déplacements [Fialko et al. (2001), Wright et al. (2004), Dawson et Tregoning (2007)]. L'accès à ces composantes de déplacements est assimilable à un changement de repère : les données InSAR donnent les déplacements dans le repère des lignes de visée, et l'on cherche leur expression dans le repère géographique (Fig. 2.8).

**Figure:** Principes du calcul des composantes 3D des déplacements : les déplacements sont enregistrés dans le repère des lignes de visée A2 A7 D7 et D2, le calcul des composantes revient à exprimer les déplacements dans le repère géographique.

Soient ${\bf {d_{\text{los}}}} = [d_1,\cdots,d_n]^T$ les valeurs de déplacements pour un pixel donné selon $n$ lignes de visée différentes, et $V$, la matrice des variances, définie telle que $V_{i,i}=\sigma_i$ où $\sigma_i$ est la variance des déplacements dans la géométrie $i$ pour le pixel. Comme les interférogrammes dans différentes lignes de visée sont indépendants entre eux, les covariances entre interférogrammes sont nulles. Soit $L$ une matrice de dimension $n\times3$ définie telle chaque ligne de "$L$ contienne le vecteur directeur d'une ligne de visée particulière dans le repère géographique (est-ouest, nord-sud, haut-bas) : $L_i = [E_i,N_i,U_i]$. Les composantes des déplacements dans le repère géographique ${\bf {d_{\text{3D}}}}=[d_{EO},d_{NS},d_{UD}]^T$ sont celles qui permettent de minimiser la fonction misfit :

\begin{equation} \chi^2 = \left({\bf {d_{\text{3D}}}}-L{\bf {d_{\text{los}}}}\right)^TV^{-1}\left({\bf {d_{\text{3D}}}}-L{\bf {d_{\text{los}}}}\right) \end{equation}

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${\bf {d_{\text{3D}}}}$ est alors résolue de manière matricielle selon :

\begin{equation} {\bf {d_{\text{3D}}}} = (L^TV^{-1}L)^{-1}L^TV^{-1}{\bf {d_{\text{los}}}} \end{equation}

(14)

Si le calcul est fait avec un nombre de lignes de visée $n>3$, alors le système d'équation est sur-déterminé. La matrice de covariance $\Sigma_{3D}$ due à cette sur-détermination est alors donnée par [Strang (1986)] :

\begin{eqnarray} \Sigma_{3D} & = & (L^TV^{-1}L)^{-1}\times mse \\ \text{avec~:~} mse & = & \frac{1}{n-3}{\bf {d_{\text{los}}}}^T(V^{-1} - V^{-1}L(L^TV^{-1}L)^{-1}L^TV^{-1}){\bf {d_{\text{los}}}}\nonumber \end{eqnarray}

(15)

Comme dans le cas du calcul de série temporelle, il est possible d'utiliser à la place de la matrice $V$ une matrice $\overline{V}$ contenant les variances moyennes des interférogrammes. La variance moyenne des déplacements dans les trois composantes est donnée par la diagonale de $\overline{\Sigma_{3D}}$, définie par :

\begin{equation} \overline{\Sigma_{3D}}=(L^T\overline{V}^{-1}L)^{-1} \end{equation}

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kunos 2014-07-01