![]() |
Soit ${\bf {\hat d}}$ un vecteur contenant les déplacements d'un pixel donné pour chacun des interférogrammes sélectionnés tel que ${\bf {\hat d}} = \left[ \hat{d}_{AB},\hat{d}_{AC},\cdots,\hat{d}_{DE} \right]^T$. On cherche à calculer les déplacements ${\bf {d}}$ à chaque date par rapport à la date d'acquisition de la scène A : ${\bf {d}} = \left[d_{AB},d_{AC},d_{AD},d_{AE}\right]^T$.
Soit $R$ une matrice décrivant les relations entre les scènes pour chaque interférogramme. La colonne correspondant à la scène de référence $A$ est supprimée. Pour chaque interférogramme $i$, il est possible de calculer la variance moyenne ${\overline{\sigma^2_{i}}}$ des pixels ne contenant pas de déplacements et d'ordonner ces variances moyennes dans la matrice diagonale $V$, telle que $V_{i,i} = {\overline{\sigma^2_{i}}}$. La variance moyenne calculée sur les pixels ne contenant pas de déplacements nous renseigne sur la variance du bruit. ${\bf {\hat{d}}}, $R$ et $V$sont donc définies ainsi :
\begin{equation} \small {\bf {\hat{d}}} = \left( {\begin{array}{*{20}c} {\hat{d}_{AB} } \\ {\hat{d}_{AC} } \\ \vdots \\ {\hat{d}_{CE} } \\ {\hat{d}_{DE} } \\ \end{array}} \right) \text{~,~} R = \left( {\begin{array}{*{20}c} -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 \\ \vdots &\vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & { - 1} \\ \end{array}} \right) \text{~et~} V = \left( {\begin{array}{*{20}c} {\overline{\sigma^2_{AB} }} & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ 0 & {\overline{\sigma^2_{AC} }} &\ddots& {} & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ \vdots& {} &\ddots & {\overline{\sigma^2_{CE} }} & 0 \\ 0 &\cdots &\cdots & 0& {\overline{\sigma^2_{DE} }} \\ \end{array}} \right) \normalsize \end{equation} | (7) |
La valeur des déplacements ${\bf {d}}$ pour un pixel donné et pour chaque scène est celle qui permet de minimiser la fonction misfit :
\begin{equation} \chi^2=({\bf {\hat d}}-R{\bf {d}})^TV^{-1}({\bf {\hat d}}-R{\bf {d}}) \end{equation} | (8) |
Il est aussi possible d'estimer la variance moyenne de chaque interférogramme de la série temporelle :
\begin{equation} {\bf {d}} = \left( {\begin{array}{*{20}c} 0 & {d_{B} } & {d_{C} } & {d_{D} } & {d_{E} } \\ \end{array}} \right)^T , \overline{\Sigma} = \left( {\begin{array}{*{20}c} 0 & 0 \\ 0 & \overline{\Sigma} \\ \end{array}} \right) \end{equation} | (12) |
kunos 2014-07-01