Principes mathématiques

Soient A,B,C,D et E, 5 scènes acquises dans une ligne de visée donnée. À partir de ces scènes, 10 interférogrammes peuvent être calculés puis déroulés, possédant chacun leur propre baseline perpendiculaire $\rm {B}_{\perp}$ et temporelle $\rm {B}_t$. Seuls seront gardés les $n$ interférogrammes les plus cohérents.

**Figure:** Principes du calcul en séries temporelles. 5 scènes A, B, C, D et E permettent de calculer 10 interférogrammes, dont seulement 6 ont des $\rm{B}_{\perp}$ et $\rm{B}_t$ assez faibles. Le calcul en série temporelle permet de retrouver les déplacements à chaque date par rapport à la scène de référence A.

Soit ${\bf {\hat d}}$ un vecteur contenant les déplacements d'un pixel donné pour chacun des interférogrammes sélectionnés tel que ${\bf {\hat d}} = \left[ \hat{d}_{AB},\hat{d}_{AC},\cdots,\hat{d}_{DE} \right]^T$. On cherche à calculer les déplacements ${\bf {d}}$ à chaque date par rapport à la date d'acquisition de la scène A : ${\bf {d}} = \left[d_{AB},d_{AC},d_{AD},d_{AE}\right]^T$.

Soit $R$ une matrice décrivant les relations entre les scènes pour chaque interférogramme. La colonne correspondant à la scène de référence $A$ est supprimée. Pour chaque interférogramme $i$, il est possible de calculer la variance moyenne ${\overline{\sigma^2_{i}}}$ des pixels ne contenant pas de déplacements et d'ordonner ces variances moyennes dans la matrice diagonale $V$, telle que $V_{i,i} = {\overline{\sigma^2_{i}}}$. La variance moyenne calculée sur les pixels ne contenant pas de déplacements nous renseigne sur la variance du bruit. ${\bf {\hat{d}}}, $R$ et $V$sont donc définies ainsi :

\begin{equation} \small {\bf {\hat{d}}} = \left( {\begin{array}{*{20}c} {\hat{d}_{AB} } \\ {\hat{d}_{AC} } \\ \vdots \\ {\hat{d}_{CE} } \\ {\hat{d}_{DE} } \\ \end{array}} \right) \text{~,~} R = \left( {\begin{array}{*{20}c} -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 \\ \vdots &\vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & { - 1} \\ \end{array}} \right) \text{~et~} V = \left( {\begin{array}{*{20}c} {\overline{\sigma^2_{AB} }} & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ 0 & {\overline{\sigma^2_{AC} }} &\ddots& {} & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ \vdots& {} &\ddots & {\overline{\sigma^2_{CE} }} & 0 \\ 0 &\cdots &\cdots & 0& {\overline{\sigma^2_{DE} }} \\ \end{array}} \right) \normalsize \end{equation}

(7)

La valeur des déplacements ${\bf {d}}$ pour un pixel donné et pour chaque scène est celle qui permet de minimiser la fonction misfit :

\begin{equation} \chi^2=({\bf {\hat d}}-R{\bf {d}})^TV^{-1}({\bf {\hat d}}-R{\bf {d}}) \end{equation}

(8)

${\textbf{d}}$ est alors résolu par calcul matriciel :

\begin{equation} {{\bf d}}=({ R}^T {V}^{-1}{R})^{-1}{R}^T {V}^{-1}{\bf {\hat d}} \end{equation}

(9)

Pour un pixel donné, la matrice de covariance est obtenue selon :

\begin{eqnarray} \Sigma & = & \left[ ({R}^T{ V}^{-1}{R})^{-1} \times mse \right]\\ mse & = & \frac{{\bf {\hat d}}^T(V^{-1} - V^{-1}R(R^TV^{-1}R)^{-1}R^TV^{-1}){\bf {\hat d}}}{(m-n)}\nonumber \end{eqnarray}

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où $mse$, est un facteur de mise à l'échelle de la covariance donné par [Strang(1986)], $m$ est le nombre d'interférogrammes pris en compte dans le calcul, et $n+1$ le nombre de scènes différentes.

Il est aussi possible d'estimer la variance moyenne de chaque interférogramme de la série temporelle :

\begin{equation} \overline{\Sigma} = ({R}^T{ V}^{-1}{R})^{-1} \end{equation}

(11)

Dans les deux cas, la variance dépend donc du choix des interférogrammes sélectionnés et de leur variance moyenne. Enfin, si l'on considère que le calcul par série temporelle donne la position du sol en fonction du temps, alors le sol est à la position 0 sur la scène de référence ($d_{AA} = 0$), et $d_{AS} = d_S$ où $d_S$ est la position du sol sur la scène $S$ . Dès lors, la variance de l'interférogramme AA est nulle et les covariances entre AA et les autres interférogrammes le sont aussi. Ainsi, ${\bf {d}}$ et $\overline{\Sigma}$ peuvent être complétés :

\begin{equation} {\bf {d}} = \left( {\begin{array}{*{20}c} 0 & {d_{B} } & {d_{C} } & {d_{D} } & {d_{E} } \\ \end{array}} \right)^T , \overline{\Sigma} = \left( {\begin{array}{*{20}c} 0 & 0 \\ 0 & \overline{\Sigma} \\ \end{array}} \right) \end{equation}

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kunos 2014-07-01