Expression de $\textbf{a}$ dans le cas PCHIP
Ce type d'interpolation est construit pour chaque intervalle $[t_k,t_{k+1}]$ sur la combinaison linéaire de 4 polynômes unitaires de degré 3 $h_{00}(\tau)$, $h_{10}(\tau)$, $h_{01}(\tau)$ et $h_{11}(\tau)$, tels que :Si l'on impose les valeurs des tangentes $m_k$ et $m_{k+1}$ aux points $t_k$ et $t_{k+1}$, alors l'interpolateur $s_k$ s'exprime sur le fragment <$\left[t_k,t_{k+1}\right]$ sous la forme d'une combinaison unique des polynômes unitaires :
| \begin{equation} \begin{array}{*{20}c} s_k(t) = h_{00}(\tau)d_k + h_{10}(\tau)(t_{k+1}-{t_k})m_k+h_{01}(\tau)d_{k+1}+h_{11}(\tau)(t_{k+1}-{t_k})m_{k+1}\\ \text{avec : }~~~\tau = \frac{{\begin{array}{*{20}c} t-t_{k} \\ \end{array}}}{{\begin{array}{*{20}c} t_{k+1} - t_{k} \\ \end{array}}} \in \left[ {0,1} \right] ~~~\text{et}~~~ t \in \left[t_{k},t_{k+1}\right] \end{array} \end{equation} | (142) |
On pose comme condition supplémentaire que $m_k$ est égal à 0 si le point $(t_k,d_k)$ correspond à un extremum local. D'après l'équation précédente, $h_{10}$ et $h_{11}$ sont les euls termes qui auront comme facteur les dérivées. On considèrera alors que $h_{10}=0$ si $m_k=0$ et $h_{11}=0$ si $m_{k+1}=0$.
Le problème consiste dans un premier temps à résoudre les valeurs des $m_k$ puis à exprimer $\hat{d}$ comme une combinaison linéaire de tous les $d_k$.
Si $m_k$ n'est pas un extremum local, son expression peut être donnée par l'expression du spline cardinal.
Subsections kunos 2014-07-01