Résolution des $mk$

Définissons les quantités suivantes :

\begin{equation} p_k = \frac{d_{k+1}-d_k}{t_{k+1}-t_k} ~~~~~,~~~~~ h_k=t_{k+1}-t_k ~~~~~\text{et}~~~~~ \lambda_k=\frac{h_k}{h_{k-1}+h_k} \end{equation}

(134)

Les seules inconnues qui restent dans l'équation A.1 sont les $m_k$. La seule contrainte non utilisée est la continuité des dérivés premières. En déterminant les $m_k$ en utilisant les dérivés premières puis en exigeant la continuité des dérivées premières $s_k^{'}(t_k) = s_{k-1}^{'}(t_k)$, il vient :

\begin{equation} h_{k-1}m_{k-1} + 2(h_{k-1}+h_k)m_k + h_km_{k+1} = 6(p_k-p_{k-1}) \end{equation}

(135)

En divisant par $h_{k-1}+h_k$ et en substituant par $\lambda_k$, cette équation devient :

\begin{equation} (1-\lambda_k) m_{k-1} + 2m_k + \lambda_km_{k+1} = 6\frac{p_k-p_{k-1}}{h_{k-1}+h_k} \end{equation}

(136)

Les $m_k$ (dérivées secondes de l'interpolateur en $t_k$) sont obtenues par inversion d'un système linéaire $M{\bf m} = {\bf {b}}$ tel que :

\begin{eqnarray} \left( {\begin{array}{*{20}c} 2 & {\lambda _2 } & 0 & \cdots & \cdots & \cdots & 0 \\ {1 - \lambda _3 } & 2 & {\lambda _3 } & \ddots & {} & {} & \vdots \\ 0 & {1 - \lambda _4 } & 2 & {\lambda _4 } & \ddots & {} & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ \vdots & {} & \ddots & {1 - \lambda _{n - 3} } & 2 & {\lambda _{n - 3} } & 0 \\ \vdots & {} & {} & \ddots & {1 - \lambda _{n - 2} } & 2 & {\lambda _{n - 2} } \\ 0 & \cdots & \cdots & \cdots & 0 & {1 - \lambda _{n - 1} } & 2 \\ \end{array}} \right) \left( {\begin{array}{*{20}c} {m_2 } \\ {m_3 } \\ {m_4 } \\ \vdots \\ {m_{n - 3} } \\ {m_{n - 2} } \\ {m_{n - 1} } \\ \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c} {6\frac{{p_2 - p_1 }}{{h_1 + h_2 }}} \\ {6\frac{{p_3 - p_2 }}{{h_2 + h_3 }}} \\ {6\frac{{p_4 - p_3 }}{{h_3 + h_4 }}} \\ \vdots \\ {6\frac{{p_{n - 3} - p_{n - 4} }}{{h_{n - 4} + h_{n - 3} }}} \\ {6\frac{{p_{n - 2} - p_{n - 3} }}{{h_{n - 3} + h_{n - 2} }}} \\ {6\frac{{p_{n - 1} - p_{n - 2} }}{{h_{n - 2} + h_{n - 1} }}} \\ \end{array}} \right) \nonumber \end{eqnarray}

(137)

$M$ est de taille $n-2 \times n-2$, on a donc $n-2$ équations pour $n$ inconnues (les $n$ $m_k$). Il est donc nécessaire de spécifier les valeurs de $m_1$ et $m_n$, qui seront choisies nulles. D'autre part, il est à noter que $M$ ne dépend pas des $d_k$ mais que de $t_1,\cdots,t_n$.

On peut montrer que M est inversible. ${\bf {m}}$, contenant les $m_k$, est résolue par ${\bf {m}} = M^{-1}{\bf {b}}$. En développant ce produit puis en factorisant par les valeurs des déplacements des séries temporelles${\bf {d}}$, on peut exprimer $m_k$ comme une combinaison linéaire des $d_i$ :

\begin{eqnarray} m_k = \left( {\begin{array}{*{20}c} {\frac{{6M_{k,1}^{ - 1} }}{{\left( {h_1 + h_2 } \right)\left( {t_2 - t_1 } \right)}}} \\ { - \frac{{6M_{k,1}^{ - 1} }}{{\left( {h_1 + h_2 } \right)\left( {t_2 - t_1 } \right)}} - \frac{{6M_{k,1}^{ - 1} }}{{\left( {h_1 + h_2 } \right)\left( {t_3 - t_2 } \right)}} - \frac{{6M_{k,2}^{ - 1} }}{{\left( {h_2 + h_3 } \right)\left( {t_3 - t_2 } \right)}}} \\ \vdots \\ {\frac{{6M_{k,k - 2}^{ - 1} }}{{\left( {h_{k - 2} + h_{k - 1} } \right)\left( {t_k - t_{k - 1} } \right)}} - \frac{{6M_{k,k - 1}^{ - 1} }}{{\left( {h_{k - 1} + h_k } \right)\left( {t_k - t_{k - 1} } \right)}} - \frac{{6M_{k,k - 1}^{ - 1} }}{{\left( {h_{k - 1} + h_k } \right)\left( {t_{k + 1} - t_k } \right)}} - \frac{{6M_{k,k}^{ - 1} }}{{\left( {h_k + h_{k + 1} } \right)\left( {t_{k + 1} - t_k } \right)}}} \\ \vdots \\ {\frac{{6M_{k,n - 3}^{ - 1} }}{{\left( {h_{n - 3} + h_{n - 2} } \right)\left( {t_{n - 1} - t_{n - 2} } \right)}} - \frac{{6M_{k,n - 2}^{ - 1} }}{{\left( {h_{n - 2} + h_{n - 1} } \right)\left( {t_{n - 1} - t_{n - 2} } \right)}} - \frac{{6M_{k,n - 2}^{ - 1} }}{{\left( {h_{n - 2} + h_{n - 1} } \right)\left( {t_n - t_{n - 1} } \right)}}} \\ {\frac{{6M_{k,n - 2}^{ - 1} }}{{\left( {h_{n - 2} + h_{n - 1} } \right)\left( {t_n - t_{n - 1} } \right)}}} \\ \end{array}} \right)^T\left( {\begin{array}{*{20}c} {d_1 } \\ {d_2 } \\ \vdots \\ {d_k } \\ \vdots \\ {d_{n - 1} } \\ {d_n } \\ \end{array}} \right) \nonumber \end{eqnarray}

(138)

où $M^{-1}_{k,j}$ désigne le jème élément de la kème colonne de l'inverse de $M$

Introduisons maintenant ${\bf {\theta} _k}$ un vecteur qui permet d'exprimer $m_k$ comme une combinaison linéaire des $d_i$. Comme $M$ ne dépend que de $t_1,\cdots,t_n$, ${\bf {\theta} _k}$ ne dépend que de $t_1,\cdots,t_n$ . L'équation précédente devient :

\begin{equation} m_k={\bf {\theta} _k}{\bf {d}} = \left( {\begin{array}{*{20}c} {\theta _{k,1} } \\ \vdots \\ {\theta _{k,n} } \\ \end{array}} \right)^T \left( {\begin{array}{*{20}c} {d_1 } \\ \vdots \\ {d_n } \\ \end{array}} \right) \end{equation}

(139)

kunos 2014-07-01