$d_k$ et $d_{k+1}$ sont les déplacements enregistrés aux dates $t_k$ et $t_{k+1}$. Nous voulons estimer la valeurs des déplacements $\hat d$ à la date $t$ par spline cubique, telle que $t_k\leq t \leq t_{k+1}$. L'interpolateur $s(t)$ sur l'ensemble de la courbe est défini sur l'intervalle $k$ (entre deux points consécutifs de la série temporelle) par la fonction $s_k(t)$. $s_k(t)$ est un polynome de degré 3 [ Boor (1978)], défini par les conditions suivantes :
- $s_k(t_k)=d_k$
- $s_k \left( {t_{k + 1}}\right)=d_{k+1}$
- $s_k^{'} \left( {t_{k + 1} } \right) = s_{k + 1}^{'} \left( {t_{k + 1} } \right)$
- $s_k^{''} \left( {t_{k + 1} } \right) = s_{k + 1}^{''} \left( {t_{k + 1} } \right)$
Il est donc nécessaire que $s(t)$ soit cubique par morceaux, ce qui implique que $s_k^{'}(t)$ soit quadratique par morceaux et que $s^{''}(t)$ soit linéaire par morceaux. Par interpolation linéaire (Lagrangienne), on peut obtenir l'expression de $s_k^{''}(t)$, puis en intégrant deux fois l'expression de $s_k^{''}(t)$, l'interpolateur $s_k^(t)$ lui même :
| \begin{eqnarray} \hat d & = & s_k(t) \nonumber \\ & = & d_k\left(t - t_k\right)^0 + \left[\frac{d_{k+1}-d_k}{t_{k+1}-t_k}- \frac{t_{k+1}-t_k}{6}\left(2m_k + m_{k+1}\right)\right] \left(t - t_k\right)^1 +\cdots \nonumber \\ & & \frac{m_k}{2}\left(t - t_k\right)^2 + \frac{m_{k+1}-m_k}{6(t_{k+1}-t_k)}\left(t - t_k\right)^3 \end{eqnarray} | (133) |
où $m_k$ est la dérivée seconde de l'interpolateur au point $t_k$ : img825.jpg" ALT="$m_k=s_k^{''}(t_k)$.
Le problème consiste dans un premier temps à résoudre les valeurs des $m_k$ puis à exprimer $\hat{d}$ comme une combinaison linéaire de tous les $d_k$.
Subsections kunos 2014-07-01